Tags: suites

Q: [latex]Traduire que \begin{math} u_n \end{math} est une suite croissante[/latex]
A: [$$] \text{pour tout \textit{n}}, u_n\leqslant u_{n+1}[/$$]

Q: [latex]Traduire que \begin{math} (u_n)  \end{math}  est une suite décroissante [/latex]
A: [$]\text{pour tout \textit{n}}, u_n\geqslant u_{n+1}[/$]

Q: [latex] que signifie : \begin{math}(u_{n})\end{math} est arithmétique ?   [/latex]
A: [latex]il existe un nombre \begin{math}r\end{math}, appelé raison de la suite, tel que, pour tout naturel \begin{math}n\end{math}, \begin{math}u_{n+1}=u_{n}+r\end{math}.[/latex]

Q: [latex]Traduire que la suite \begin{math} u_n \end{math} est constante. [/latex]
A: [latex]pour tout $n$, $u_n= u_{n+1}$[/latex]

Q: [latex] Comment montrer qu'une suite \begin{math} u_n \end{math} est arithmétique ? [/latex]
A: [latex] En calculant \begin{math} u_{n+1}-u_{n}  \end{math}, et en trouvant que cette somme vaut une constante, $r$.[/latex]

Q: [latex]  \begin{math}(u_{n})\end{math} est géométrique de raison $q$. Exprimer    $u_n$ en fonction de $n$.[/latex]
A: [latex] $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$ pour $p\leqslant n$, [/latex]
en particulier,
[latex] $u_{n}=u_{0}q^{n}$  [/latex]

Q: [latex]  \begin{math}(u_{n})\end{math} est arithmétique. Exprimer $(u_{n})$ en fonction de $n$.  [/latex]
A: [latex]pour tout naturel $n$ : $u_{n}=u_{0}+nr$[/latex]
ou
[latex]$u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ (lorsque $n\geqslant p)$[/latex]

Q: [latex]Que vaut $1+2+3+\ldots+n $ ?[/latex]
A: [latex] $\dfrac{n(n+1)}{2}$[/latex]

Q: [latex] Que vaut la somme S de plusieurs termes consécutifs d'une suite arithmétique? [/latex]
A: [latex] $ S=(\text{nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}$[/latex]

Q: [latex]Comment montrer qu'une suite $u_n$ est géométrique ?[/latex]
A: [latex]en montrant qu'il existe un nombre réel $q$ , non nul, tel que, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=qu_{n}$. [/latex]
Dans ce cas,
[latex]$q$ est appelé la raison de la suite.[/latex]

Q: [latex]Si $(u_{n})$ une suite géométrique de raison q ($q\neq1$),[/latex]
[latex]Que vaut [/latex]
[latex]$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=\sum_{i=0}^{i=n}u_{i}$ ?[/latex]
A: [latex]$S_{n}=u_{0} \times \dfrac{1-q^{n+1}} {1-q}=\text{premier terme} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}} {1-q}$.[/latex]

Q: [latex]Que vaut $\sigma_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^n$ si $q \neq1$ ?[/latex]
A: [latex]$1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$[/latex]

Q: [latex]Pour étudier les variations d'une suite $(u_n)$, [/latex]
[latex]si je sais que : pour tout $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$ [/latex]
[latex]peut-on conclure que la suite est décroissante ? [/latex]
A: [latex]NON, penser à vérifier que pour tout $n$, $u_n>0$ avant de conclure ![/latex]

Q: [latex]Si pour tout $n$, $u_n>0$ \textbf{et} $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$[/latex]
[latex]Que dire de la suite $(u_n)$ ? [/latex]
A: [latex]La suite $(u_n)$ est croissante .[/latex]

Q: [latex]Si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction croissante sur $\mathbb{R}^+$[/latex]
[latex]Que dire de la suite $(u_n)$ ?[/latex]
A: [latex]$(u_n)$ est une suite explicite et \textbf{croissante}. [/latex]

Q: [latex]Si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction décroissante sur $\mathbb{R}^+$[/latex]
[latex]Que dire de la suite $(u_n)$ ?[/latex]
A: [latex]$(u_n)$ est une suite explicite et \textbf{décroissante}. [/latex]