Title: complexes2

Q: [latex]Soit $\overrightarrow{w_{1}}$ et $\overrightarrow{w_{2}}$ deux vecteurs quelconques[/latex]
[latex] d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.[/latex]
[latex]Quelle est l'affixe du vecteur [/latex]
[latex]$\overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}}$ ? [/latex]
A: [latex]$z_{1}+z_{2}$[/latex]

Q: [latex]Soit $\overrightarrow{w_{1}}$ un vecteur quelconque[/latex]
[latex] d'affixe $z_{1}$  et $k$ un réel.[/latex]
[latex]Quelle est l'affixe du vecteur [/latex]
[latex]$k\overrightarrow{w_{1}}$ ? [/latex]
A: [latex]$kz_{1}$[/latex]

Q: [latex]Soit $A$ et $B$ d' d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$[/latex]
[latex]Quelle est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$? [/latex]
A: [latex]$z_{B}-z_{A}$[/latex]

Q: [latex]$z_A+z_B$ est l'affixe d'un point. [/latex]
 [latex]      Lequel ?[/latex]
A: [latex]C'est l'affixe du sommet $C$[/latex]
 [latex]du parallélogramme $OACB$.[/latex]

Q: [latex]Quelle est l'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ ? [/latex]
A: [latex]$z_I=\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}$.[/latex]

Q: [latex]Soit $z=a+i \cdot b$ avec $a$ et $b$ réels, [/latex]
[latex]Comment calcule-t-on le module de $z$, [/latex]
[latex]noté $|z|$ ?[/latex]
A: [latex]$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.[/latex]

Q: [latex]Si M l'image de $z$, comment [/latex]
[latex]interpréter géométriquement $|z|$ ?[/latex]
A: [latex]$|z|=$distance $OM$[/latex]

Q: [latex]$|z|=0 $ ssi .......[/latex]
A: [latex]$|z|=0 \text{ ssi } z=0$[/latex]

Q: [latex]Pour tout nombre complexe $z$[/latex]
[latex]$|z|^2=.....$[/latex]
A: [latex]$|z|^2= z \bar{z}$.[/latex]

Q: [latex]Pour tout nombre complexe $z$[/latex]
[latex]$|\bar{z}|=....$.[/latex]
A: [latex]$|\bar{z}|=|z|$[/latex]

Q: [latex]Pour tout nombre complexe $z$ :[/latex]
[latex]$|-z|= .....$[/latex]
A: [latex]$|-z|=|z|$[/latex]

Q: [latex]Exprimer $\arg(-z)$ en fonction de $\arg(z)$[/latex]
A: [latex]$\arg(-z)=\arg(z)+\pi$ (mod $2\pi$)[/latex]

[latex]Visualisation de $|\bar{z}|$, $|-z|$ ? [/latex]

Q: [latex]Enoncer l'inégalité triangulaire.[/latex]
A: [latex]Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ :[/latex]
[latex]$|z+z'|\leq|z|+|z'|$[/latex]

Q: [latex]Soit $z\in \mathbb{C}$ \textbf{non nul} d'image $M$,[/latex]
[latex]qu'appelle-ton argument de $z$ ? [/latex]
A: [latex]$\arg(z)=\theta$  [/latex]
[latex]$\arg(z)$=une mesure en radians de  $\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)$(mod $2\pi$).
[/latex]

Q: [latex]Quel complexe n'a pas d'argument ?[/latex]
A: [latex]0[/latex]
[latex]$\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)$ n'est pas défini.[/latex]

Q: [latex]Combien d'arguments un complexe [/latex]
[latex]possède-t-il ?[/latex]
A: [latex]une infinité d'arguments de la forme [/latex]
[latex]$\arg(z)=\theta + 2 k \pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.[/latex]

Q: [latex]Traduire en terme d'arguments :[/latex]
[latex]($z$ est un nombre réel non nul)[/latex]
A: [latex]($z$ est un nombre réel non nul)[/latex]
 équivaut à
[latex] ($\arg(z)=0$ (mod $\pi$))[/latex]

Q: [latex]Traduire en terme d'argument :[/latex]
[latex]$z$ est un imaginaire pur non nul[/latex]
A: [latex]($z$ est un imaginaire pur non nul )[/latex]
 équivaut à
[latex] ($\arg(z)=\dfrac{\pi}{2}$ (mod $\pi$))[/latex]

Q: [latex]Exprimer $\arg(\bar {z})$ en fonction de $\arg(z)$[/latex]
A: [latex]$\arg(\bar {z})=-\arg(z)$ (mod $2\pi$).[/latex]

[latex]Visualiser $\arg(-z)$ et  $\arg(\bar {z})$[/latex]
[latex]pour $z$ non nul. [/latex]

Q: [latex]Soit $z$ un un nombre complexe non nul.[/latex]
[latex]Donner l'écriture trigonométrique de $z$.[/latex]
A: [latex]$z=\rho \left(\cos(\theta)+ i\sin(\theta)\right)$[/latex]
[latex]avec $\rho=|z|$ et $\theta=\arg(z)$[/latex]

Q: [latex]Si Si $z=x+iy$, comment trouver [/latex]
[latex]$\arg(z)=\theta$ ?[/latex]
A: [latex]$\dfrac{x}{ |z|}=\cos \theta$  [/latex]
et
[latex]$\dfrac{y}{|z|}=\sin \theta$[/latex]

Q: [latex]Enoncer les règles sur module et argument [/latex]
[latex]d'un produit de deux complexes non nuls.[/latex]
A: [latex]$|zz'|=|z||z'|$ et ,[/latex]
[latex]$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$ \quad(mod $2\pi$)[/latex]

Q: [latex]Enoncer les règles sur module et argument [/latex]
[latex]d'un quotient de deux complexes non nuls.[/latex]
A: [latex]$\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ et,[/latex]
[latex]$\arg \left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$ \quad(mod $2\pi$)[/latex]

Q: [latex]Enoncer les règles sur module et argument [/latex]
[latex]d'une puissance d'un nombre complexe non nul.[/latex]
A: [latex]$|z^n|=|z|^n$ et, [/latex]
[latex]$\arg(z^n)=n\arg(z)$ \quad(mod $2\pi$)[/latex]

Q: [latex]Enoncer les règles sur module et argument [/latex]
[latex]de l'inverse d'un nombre complexe non nul.[/latex]
A: [latex]$\left|\dfrac{1}{z'}\right|=\dfrac{1}{|z'|}$ et, [/latex]
[latex]$\arg \left(\dfrac{1}{z'}\right)=-\arg(z')$ \quad(mod $2\pi$)[/latex]

Q: [latex]Dans le plan complexe muni d'un[/latex]
 [latex]repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, [/latex]
[latex]soient $A$ et $B$ deux points distincts [/latex]
[latex]d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.[/latex]
[latex]Traduire avec les complexes [/latex]
[latex]la distance $AB$[/latex]
A: [latex]$AB=|z_B-z_A|$[/latex]

Q: [latex]Dans le plan complexe muni d'un[/latex]
 [latex]repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, [/latex]
[latex]soient $A$ et $B$ deux points distincts [/latex]
[latex]d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.[/latex]
[latex]Traduire avec les complexes [/latex]
[latex]l'angle $(\vec{u};\overrightarrow{AB})$[/latex]
A: [latex]$(\vec{u};\overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A)$ \quad mod$(2\pi)$[/latex]

Q: [latex]Dans le plan complexe muni d'un[/latex]
 [latex]repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, [/latex]
[latex]soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts  [/latex]
 [latex]d'affixes respectives $z_A$, $z_B$,$z_C$ et $z_D$ [/latex]
[latex]Traduire avec les complexes [/latex]
[latex]l'angle $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})$.[/latex]
A: [latex]$(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})=\arg \left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)$\quad mod$(2\pi)$.[/latex]