Title: Suites

Q: [latex] Définition de :  $\left( u_{n}\right)$  suite croissante ? [/latex]
A: [latex]pour tout $n$ de $\mathbb{N}, u_{n}\leq u_{n+1}$[/latex]

Q: [latex]Citer 4 façons d'étudier les variations d'une suite $(u_n)$.[/latex]
A: [latex]+ Signe de $u_{n+1} - u_n$[/latex]
[latex]+Si pour tout naturel $n$, $u_n>0$ ,  [/latex]
 [latex]comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1. [/latex]
[latex]+ Si  $u_n=f(n)$, étudier les variation de la fonction $f$[/latex]
[latex]+Faire une démonstration par récurrence,  [/latex]
 [latex]si la suite est définie par récurrence.[/latex]

Q: [latex]Définition de : $\left( u_{n}\right) $ suite majorée ?[/latex]
A: [latex]Il existe un réel $M$ tel que :  [/latex]
 [latex]pour tout $n$ de $\mathbb{N}, u_{n}\leq M$[/latex]
[latex]Attention, $M$  ne dépend pas de $n$.[/latex]

Q: [latex]Définition de : $\left( u_{n}\right) $ est \textbf{minorée} ? [/latex]
A: [latex]Il existe un réel $m$ tel que :  [/latex]
 [latex]pour tout $n$ de $\mathbb{N}, u_{n}\geq m$[/latex]
[latex]Attention, $m$  ne dépend pas de $n$.[/latex]

Q: [latex]Défintion  de suite bornée ?[/latex]
A: [latex]C'est une suite, à la fois majorée et minorée[/latex]

Q: [latex]Si une suite est croissante, donner un minorant . [/latex]
A: [latex]Elle est toujours minorée par son premier terme.[/latex]

Q: [latex]Si une suite est décroissante, donner un majorant [/latex]
A: [latex]Son premier terme ! [/latex]

Q: [latex]Défintion de : suite \textbf{convergente} ? [/latex]
A: [latex]Suite qui admet une \textbf{limite finie}.[/latex]

Q: [latex]Défintion de :  [/latex]
 [latex]la suite $\left( u_{n}\right) $ admet pour limite le réel $\textit{l}$  ? [/latex]
A: [latex]si \textbf{tout} intervalle ouvert de centre $\textit{l}$  [/latex]
 [latex]contient tous les termes de la suite  [/latex]
 [latex]\textbf{à partir d'un certain rang}.[/latex]

Q: [latex]Une suite peut-elle avoir plusieurs limites ? [/latex]
A: [latex]NON ! Si la limite existe, elle est unique. [/latex]

Q: [latex]Si  une suite $\left( u_{n}\right) $ est croissante [/latex]
 [latex]avec  $\lim_{n \to +\infty}\limits u_{n}=l$. [/latex]
[latex]Est-elle majorée ?[/latex]
A: [latex]Oui ! La suite $\left( u_{n}\right) $ est majorée par $l$.[/latex]

Q: [latex]Que dire d'une suite \textbf{croissante} et \textbf{majorée} ? [/latex]
A: [latex]Elle est est \textbf{convergente}.[/latex]
[latex]C'est le théorème de convergence des suites monotones.[/latex]

Q: [latex]Que dire d'une suite \textbf{décroissante} et \textbf{minorée} ? [/latex]
A: [latex]Elle est est \textbf{convergente}.[/latex]
[latex]C'est le théorème de convergence des suites monotones.[/latex]

Q: [latex]Définition de : [/latex]
 [latex]la suite $\left( u_{n}\right) $ a pour limite $+\infty$ ?[/latex]
A: [latex] si \textbf{tout} intervalle du type $]A;+\infty[$  [/latex]
[latex] contient tous les termes de la suite  [/latex]
 [latex]\textbf{à partir d'un certain rang}.[/latex]

Q: [latex]Définition de  :  [/latex]
 [latex]la suite $\left( u_{n}\right) $ a pour limite $-\infty$ . [/latex]
A: [latex] si \textbf{tout} intervalle du type $]-\infty;A[$   [/latex]
 [latex]contient tous les termes de la suite [/latex]
 [latex]\textbf{à partir d'un certain rang}.[/latex]

Q: [latex]Définition de suite divergente ?[/latex]
A: [latex]Suite qui ne converge pas ![/latex]
[latex]Soit : Suite qui n'a pas de limite  [/latex]
 [latex]ou qui a une limite infinie.[/latex]

Q: [latex]Que dire d'une suite croissante non majorée ?[/latex]
A: [latex] Elle diverge vers $+\infty$[/latex]

Q: [latex]Que dire d'une suite décroissante non minorée  ? [/latex]
A: [latex]elle diverge vers $-\infty$.[/latex]

Q: [latex]Citer les 4 formes indéterminées [/latex]
A: [latex]Avec les abus d'écriture : [/latex]
[latex]$(-\infty)$ + $(+\infty)$[/latex]
[latex]$\infty \times 0$[/latex]
[latex]$\dfrac {\infty}  {\infty} $ et  $\dfrac {0}  {0}$ [/latex]

Q: [latex]Si  $ u_{n} \leq w_{n}\leq v_{n} $  [/latex]
 [latex]et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n}=l$[/latex]
[latex]Que dire de $(w_n)$ ?[/latex]
A: [latex]La limite de $(w_n)$ existe et vaut : [/latex]
[latex]$\lim\limits_{n \to +\infty} w_{n}=l$[/latex]
[latex]C'est le théorème des gendarmes.[/latex]

Q: [latex]Si $ u_{n} \leq v_{n} $ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n}=-\infty$[/latex]
[latex]Que dire de $(u_n)$ ?[/latex]
A: [latex]$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=-\infty$[/latex]
[latex]théorème de comparaison[/latex]

Q: [latex]Si $ u_{n} \leq v_{n} $ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty$[/latex]
[latex]Que dire de $(v_n)$ ?[/latex]
A: [latex]$\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n}=+\infty$[/latex]
[latex]théorème de comparaison[/latex]

Q: [latex]\text{Si }$ b > 1$ $ \lim_{n \to +\infty}\limits b^{n}=$ ? [/latex]
A: [latex]$ \lim_{n \to +\infty}\limits b^{n}=+\infty$[/latex]

Q: [latex]\text{Si }$ -1<b< 1$, $\lim_{n \to +\infty}\limits b^{n}=$ ? [/latex]
A: [latex] $\lim_{n \to +\infty}\limits b^{n}= 0$ [/latex]

Q: [latex]\text{Si }$ b \leq -1$ , que dire de $ (b_n)$ ? [/latex]
A: [latex] $ \text{ la suite est divergente et n'a pas de limite}$[/latex]
[latex]c'est une suite de signe alterné[/latex]