Title: Integration

Q: [latex]Soit $f$ est une fonction \textbf{continue } [/latex]
[latex]sur un intervalle $I=[a;b]$. [/latex]
[latex]Quelle est la fonction dérivée [/latex]
[latex]de la fonction $F$ définie [/latex]
[latex]  sur l'intervalle $I=[a;b]$ par :[/latex]
[latex] $F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt }$  ?[/latex]
A: [latex] $ F'(x)=\left( \int_{a}^{x}{f(t)dt } \right)' = f(x).$
[/latex]

Q: [latex]Soit $f$ est une fonction \textbf{continue } [/latex]
[latex]sur un intervalle $I=[a;b]$. [/latex]
[latex]Donner une écriture de la [/latex]
[latex]primitive de $f$ qui s'annule en $a$  [/latex]
A: [latex]$ F(x)= \int_{a}^{x}{f(t)dt }$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$f(x)=x^{n},n\in \mathbb{Z}, n\neq -1$ ?[/latex]
A: [latex]$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$\dfrac{1}{x^n}$[/latex]
[latex]$n\in \mathbb{N}, n\neq 1 ? $[/latex]
A: [latex]$-\dfrac{1}{n-1} \times \dfrac{1}{x^{n-1}}+k$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex] $f(x)=\dfrac{1}{x}$ ?[/latex]
A: [latex]$F(x) = \ln (x)$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex] $f(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ ?[/latex]
A: [latex]$F(x) = \dfrac{1}{x}+k$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex] $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ? [/latex]
A: [latex]F(x) = $2\sqrt{x}+k$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$f(x)=\sin(x)$ ?[/latex]
A: [latex]F(x) =$-\cos(x)+k$ [/latex]

Q: [latex]Primitive de[/latex]
[latex]$f(x)=\cos(x)$ ? [/latex]
A: [latex]F(x) = $\sin(x)+k$ [/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex] $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ? [/latex]
A: [latex]F(x) = $\mathrm{e}^{x}+k$.[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$\left[ u(x)\right] ^{n}\times u'(x),n\in \mathbb{Z}, n\neq -1$ ?[/latex]
A: [latex]F(x) = $\dfrac{\left[ u(x)\right] ^{n+1}}{n+1}$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$\dfrac{u'(x)}{{u(x)}^2}$[/latex]
A: [latex]F(x) = $-\dfrac{1}{u(x)}$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$\mathrm{e}^{u(x)}\times u'(x)$ ?[/latex]
A: [latex]F(x) = $\mathrm{e}^{u(x)}$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ ? [/latex]
A: [latex]$\ln(u(x))$[/latex]
[latex]Attention : sur tout intervalle où $u(x)>0$[/latex]

Q: [latex]Primitive de [/latex]
[latex]$\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$ ?[/latex]
A: [latex]F(x) = $2\sqrt{u(x)}$.[/latex]